Упр.24.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Верно ли утверждение:

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение.

а) Утверждение неверно.

Например, последовательность $$a_n=\frac{1}{n-4}$$ имеет предел:

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n-4}=0,$$

но она не монотонна, так как

$$a_3=\frac{1}{3-4}=-1,\quad a_5=\frac{1}{5-4}=1,\quad a_6=\frac{1}{6-4}=\frac12,$$

и значения идут не по одному направлению.

б) Утверждение неверно.

Например, последовательность $$a_n=n$$ монотонно возрастает, так как

$$a_{n+1}-a_n=(n+1)-n=1>0,$$

но предела не имеет, поскольку при $$n\to\infty$$ значения неограниченно возрастают.

в) Утверждение неверно.

Например, последовательность $$a_n=\sin n$$ ограничена, так как

$$-1\le \sin n\le 1,$$

но предела не имеет.

г) Утверждение неверно.

Например, последовательность $$a_n=\frac{2}{n-3}$$ не является монотонной, так как

$$a_2=\frac{2}{2-3}=-2,\quad a_4=\frac{2}{4-3}=2,\quad a_5=\frac{2}{5-3}=1,$$

но предел существует:

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n-3}=0.$$

Ответ

а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.