Упр.24.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуем последовательности на монотонность.

1. $$y_n=(-2)^n$$

   Найдём отношение соседних членов:

   $$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n}=-2<0.$$

   Значит, члены последовательности меняют знак, поэтому последовательность не является монотонной.

2. $$y_n=\cos\frac{\pi}{n+5}$$

   При увеличении $$n$$ величина $$\frac{\pi}{n+5}$$ убывает и стремится к $$0$$.

   Так как функция $$y=\cos x$$ возрастает на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{6}\right],$$ то последовательность $$y_n$$ возрастает.

3. $$y_n=n^3-5$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$y_{n+1}-y_n=((n+1)^3-5)-(n^3-5)=3n^2+3n+1>0.$$

   Следовательно, $$y_{n+1}>y_n,$$ значит, последовательность монотонно возрастает.

4. $$y_n=\sqrt{n+8}$$

   При увеличении $$n$$ выражение под корнем увеличивается, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x\ge 0.$$ Поэтому

   $$y_{n+1}=\sqrt{n+9}>\sqrt{n+8}=y_n.$$

   Следовательно, последовательность монотонно возрастает.

Ответ

а) не монотонная; б) монотонно возрастающая; в) монотонно возрастающая; г) монотонно возрастающая.