Упр.24.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?
   а) $$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{n+1}, \ldots$$;
   б) $$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \ldots, \frac{2n-1}{2n}, \ldots$$;
   в) $$5, -5, 5, -5, \ldots, (-1)^{n-1}\cdot 5, \ldots$$;
   г) $$-2, 3, -4, 5, \ldots, (-1)^n(n+1), \ldots$$.

Рассмотрим каждую последовательность.

1. $$a_n=\frac{1}{n+1}$$

   Так как при $$n\ge 1$$ выполняется

   $$0<\frac{1}{n+1}\le \frac12,$$

   то последовательность ограничена снизу нулём и сверху числом $$\frac12$$.

2. $$b_n=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}$$

   При $$n\ge 1$$ имеем

   $$0<\frac{1}{2n}\le \frac12,$$

   значит,

   $$\frac12\le \frac{2n-1}{2n}<1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

3. $$c_n=(-1)^{n-1}\cdot 5$$

   Значения последовательности равны только $$5$$ и $$-5$$, поэтому

   $$-5\le c_n\le 5.$$

   Последовательность ограничена.

4. $$d_n=(-1)^n(n+1)$$

   По модулю

   $$|d_n|=n+1,$$

   а это значение неограниченно возрастает при $$n\to\infty$$. Значит, последовательность не ограничена.

Ответ: ограничены последовательности а), б), в); последовательность г) не ограничена.