Упр.24.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?

• а) $$-3, -2, -1, 0, 1, \ldots$$;
• б) $$1, -1, 1, -2, 1, -3, \ldots$$;
• в) $$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots$$;
• г) $$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$$.

а) Последовательность $$-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\ldots$$ не ограничена сверху, так как её общий член можно записать так:

$$a_n=n-4.$$

При $$n\to\infty$$ имеем

$$a_n=n-4\to+\infty.$$

Значит, последовательность не ограничена сверху.

б) Последовательность $$1,\,-1,\,1,\,-2,\,1,\,-3,\ldots$$ ограничена сверху, так как все её члены не превосходят числа $$1$$. Действительно,

$$a_n=\begin{cases}1, & n=2k+1,\\ -\dfrac{n}{2}, & n=2k,\end{cases}\qquad k\in\mathbb{N}.$$

Следовательно, $$a_n\le 1$$ для всех $$n$$.

в) Для последовательности $$\dfrac12,\ \dfrac13,\ \dfrac14,\ \dfrac15,\ \dfrac16,\ldots$$

$$a_n=\dfrac{1}{n+1}.$$

Все члены положительны и не превосходят первого члена:

$$0<a_n\le \dfrac12.$$

Значит, последовательность ограничена сверху числом $$\dfrac12$$.

г) Для последовательности $$\dfrac12,\ \dfrac23,\ \dfrac34,\ \dfrac45,\ldots$$

$$a_n=\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}.$$

Так как $$\dfrac{1}{n+1}>0$$, то

$$a_n<1.$$

Следовательно, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

Ответ: ограничены сверху последовательности б), в), г).