Упр.24.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите минимальный отрезок $$[a; b]$$ с целочисленными концами, которому принадлежат все члены последовательности:

а) $$a_n = 7 — \frac{1}{n}$$;

б) $$b_n = 2 + \frac{1}{2^n}$$;

в) $$p_n = \frac{2n + 1}{2n — 1}$$;

г) $$q_n = \frac{2n — 1}{2n + 1}$$.

Рассмотрим каждый член последовательности и найдём наименьший отрезок с целочисленными концами, содержащий все её значения.

1. $$a_n=7-\frac{1}{n}$$

   Так как $$n\ge 1,$$ то $$0<\frac{1}{n}\le 1.$$ Следовательно,

   $$6\le 7-\frac{1}{n}<7.$$

   Значит, все члены последовательности принадлежат отрезку $$[6;7].$$

2. $$b_n=2+\frac{1}{2^n}$$

   При $$n\ge 1$$ имеем $$0<\frac{1}{2^n}\le \frac12.$$ Тогда

   $$2<2+\frac{1}{2^n}\le 2.5.$$

   Минимальный отрезок с целочисленными концами: $$[2;3].$$

3. $$p_n=\frac{2n+1}{2n-1}=1+\frac{2}{2n-1}$$

   Так как $$n\ge 1,$$ то $$2n-1\ge 1,$$ значит

   $$0<\frac{2}{2n-1}\le 2.$$

   Следовательно,

   $$1<p_n\le 3.$$

   Искомый отрезок: $$[1;3].$$

4. $$q_n=\frac{2n-1}{2n+1}=1-\frac{2}{2n+1}$$

   При $$n\ge 1$$ имеем $$2n+1\ge 3,$$ поэтому

   $$0<\frac{2}{2n+1}\le \frac23.$$

   Тогда

   $$\frac13\le q_n<1.$$

   Минимальный отрезок с целочисленными концами: $$[0;1].$$

Ответ: а) $$[6;7]$$; б) $$[2;3]$$; в) $$[1;3]$$; г) $$[0;1]$$.