Упр.24.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности: а) $$y_n=2n-1$$; б) $$y_n=-5^{-n}$$; в) $$y_n=n^2+8$$; г) $$y_n=\frac{2}{3n+1}$$.
а) $$y_n=2n-1$$
Найдём разность соседних членов:
$$y_{n+1}-y_n=\bigl(2(n+1)-1\bigr)-(2n-1)=2>0.$$
Значит, последовательность монотонно возрастает.
б) $$y_n=-5^{-n}$$
Найдём отношение соседних членов:
$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{-5^{-(n+1)}}{-5^{-n}}=5^{-1}=\frac15<1.$$
Следовательно, последовательность монотонно убывает.
в) $$y_n=n^2+8$$
Найдём разность соседних членов:
$$y_{n+1}-y_n=\bigl((n+1)^2+8\bigr)-(n^2+8)=2n+1.$$
Так как $$2n+1>0$$ при любом натуральном $$n$$, последовательность монотонно возрастает.
г) $$y_n=\frac{2}{3n+1}$$
Найдём разность соседних членов:
$$y_{n+1}-y_n=\frac{2}{3n+4}-\frac{2}{3n+1}=\frac{2(3n+1)-2(3n+4)}{(3n+1)(3n+4)}=-\frac{6}{(3n+1)(3n+4)}<0.$$
Значит, последовательность монотонно убывает.
Ответ: а) монотонно возрастающая; б) монотонно убывающая; в) монотонно возрастающая; г) монотонно убывающая.
