Упр.24.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?
а) $$\cos 1,\ \cos 2,\ \cos 3,\ \ldots,\ \cos n,\ \ldots$$;
б) $$\frac{\sin 1}{1},\ -\frac{\sin 2}{2},\ \frac{\sin 3}{3},\ \ldots,\ \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n},\ \ldots$$;
в) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4},\ \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4},\ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4},\ \ldots,\ \operatorname{tg}\frac{\pi(2n-1)}{4},\ \ldots$$;
г) $$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2},\ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{3},\ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4},\ \ldots,\ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{n+1},\ \ldots$$.
а) $$a_n=\cos n.$$
Так как для любого $$n$$ выполняется $$-1\le \cos n\le 1,$$ то последовательность ограничена.
б) $$a_n=\dfrac{(-1)^{\,n-1}\sin n}{n}.$$
Имеем $$|(-1)^{\,n-1}|=1,$$ $$|\sin n|\le 1,$$ а также $$n\ge 1,$$ значит
$$|a_n|=\left|\dfrac{(-1)^{\,n-1}\sin n}{n}\right|\le \dfrac{1}{n}\le 1.$$
Следовательно, последовательность ограничена.
в) $$\tg \dfrac{\pi}{4},\ \tg \dfrac{3\pi}{4},\ \tg \dfrac{5\pi}{4},\ \ldots,\ \tg \dfrac{\pi}{4}(2n-1),\ \ldots$$
Пусть $$a_n=\tg \dfrac{\pi}{4}(2n-1).$$ Тогда
$$a_n=\tg\left(\dfrac{\pi n}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right).$$
При чётных и нечётных $$n$$ получаем соответственно:
$$a_{2k}=\tg\left(\pi k-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tg \dfrac{\pi}{4}=-1,$$
$$a_{2k+1}=\tg\left(\dfrac{2\pi k}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\tg \dfrac{\pi}{4}=1.$$
Значит, $$a_n\in\{-1,1\},$$ последовательность ограничена.
г) $$\ctg \dfrac{\pi}{2},\ \ctg \dfrac{\pi}{3},\ \ctg \dfrac{\pi}{4},\ \ldots,\ \ctg \dfrac{\pi}{n+1},\ \ldots$$
Пусть $$a_n=\ctg \dfrac{\pi}{n+1}.$$ При $$n\to\infty$$ аргумент $$\dfrac{\pi}{n+1}\to 0,$$ а
$$\ctg x \to +\infty \quad \text{при} \quad x\to 0^+.$$
Следовательно, последовательность не ограничена.
Ответ: а), б), в) — ограниченные; г) — не ограничена.
