Упр.24.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сколько членов последовательности а) $$\frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, \ldots$$; б) $$\frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, \ldots$$; в) $$\frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, \ldots$$; г) $$\frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, \ldots$$ не превосходит единицы?

а) Последовательность геометрическая, так как

$$q=\frac{1/625}{1/3125}=5.$$

Тогда

$$a_n=\frac{1}{3125}\cdot 5^{\,n-1}=5^{\,n-6}.$$

Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство

$$5^{\,n-6}\le 1.$$

Так как основание $$5>1$$, получаем

$$n-6\le 0,$$

откуда

$$n\le 6.$$

Значит, таких членов 6.

б) Имеем

$$a_n=\frac{5n+1}{2n+375}.$$

Решим неравенство

$$\frac{5n+1}{2n+375}\le 1.$$

Так как $$2n+375>0$$, можно умножить обе части на знаменатель:

$$5n+1\le 2n+375,$$

$$3n\le 374,$$

$$n\le \frac{374}{3}.$$

Следовательно, $$n\le 124$$, значит, таких членов 124.

в) Последовательность геометрическая, так как

$$q=\frac{2/243}{2/729}=3.$$

Тогда

$$a_n=\frac{2}{729}\cdot 3^{\,n-1}=2\cdot 3^{\,n-7}.$$

Решим неравенство

$$2\cdot 3^{\,n-7}\le 1.$$

Проверим соседние члены:

$$a_6=2\cdot 3^{-1}=\frac{2}{3}\le 1,\qquad a_7=2\cdot 3^0=2>1.$$

Значит, не превосходят единицы первые 6 членов.

г) Имеем

$$a_n=\frac{7n-5}{3n+216}.$$

Решим неравенство

$$\frac{7n-5}{3n+216}\le 1.$$

Так как $$3n+216>0$$, получаем

$$7n-5\le 3n+216,$$

$$4n\le 221,$$

$$n\le 55{,}25.$$

Следовательно, $$n\le 55$$, значит, таких членов 55.

Ответ

а) 6; б) 124; в) 6; г) 55.