Упр.24.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Запишите первые пять членов последовательности:
   а) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{2}-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}(2n+1)$$;
   б) $$y_n=\cos\frac{n\pi}{2}+\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}(2n+1)$$;
   в) $$y_n=n\sin\frac{n\pi}{2}+n^2\cos\frac{n\pi}{2}$$;
   г) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{4}-n\cos\frac{n\pi}{4}$$.

а) Подставим значения $$n=1,2,3,4,5$$:

$$\begin{aligned} y_1&=\sin \frac{\pi}{2}-\ctg \frac{\pi}{4}\cdot 3=1-1\cdot 3=-2,\\ y_2&=\sin \pi-\ctg \frac{\pi}{4}\cdot 5=0-1\cdot 5=-5,\\ y_3&=\sin \frac{3\pi}{2}-\ctg \frac{\pi}{4}\cdot 7=-1-7=-8,\\ y_4&=\sin 2\pi-\ctg \frac{\pi}{4}\cdot 9=0-9=-9,\\ y_5&=\sin \frac{5\pi}{2}-\ctg \frac{\pi}{4}\cdot 11=1-11=-10. \end{aligned}$$

Ответ: $$-2;\,-5;\,-8;\,-9;\,-10.$$

б) Подставим значения $$n=1,2,3,4,5$$:

$$\begin{aligned} y_1&=\cos \frac{\pi}{2}+\tg \frac{\pi}{4}\cdot 3=0+3=3,\\ y_2&=\cos \pi+\tg \frac{\pi}{4}\cdot 5=-1+5=4,\\ y_3&=\cos \frac{3\pi}{2}+\tg \frac{\pi}{4}\cdot 7=0+7=7,\\ y_4&=\cos 2\pi+\tg \frac{\pi}{4}\cdot 9=1+9=10,\\ y_5&=\cos \frac{5\pi}{2}+\tg \frac{\pi}{4}\cdot 11=0+11=11. \end{aligned}$$

Ответ: $$3;\,4;\,7;\,10;\,11.$$

в) Подставим значения $$n=1,2,3,4,5$$:

$$\begin{aligned} y_1&=1\sin \frac{\pi}{2}+1^2\cos \frac{\pi}{2}=1+0=1,\\ y_2&=2\sin \pi+2^2\cos \pi=0-4=-4,\\ y_3&=3\sin \frac{3\pi}{2}+3^2\cos \frac{3\pi}{2}=-3+0=-3,\\ y_4&=4\sin 2\pi+4^2\cos 2\pi=0+16=16,\\ y_5&=5\sin \frac{5\pi}{2}+5^2\cos \frac{5\pi}{2}=5+0=5. \end{aligned}$$

Ответ: $$1;\,-4;\,-3;\,16;\,5.$$

г) Подставим значения $$n=1,2,3,4,5$$:

$$\begin{aligned} y_1&=\sin \frac{\pi}{4}-1\cdot \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0,\\ y_2&=\sin \frac{\pi}{2}-2\cos \frac{\pi}{2}=1-0=1,\\ y_3&=\sin \frac{3\pi}{4}-3\cos \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-3\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2,\\ y_4&=\sin \pi-4\cos \pi=0-4(-1)=4,\\ y_5&=\sin \frac{5\pi}{4}-5\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-5\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2. \end{aligned}$$

Ответ: $$0;\,1;\,2\sqrt2;\,4;\,2\sqrt2.$$