Упр.23.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1}{2\sin 10}-2\sin 70$$; б) $$\frac{\operatorname{tg}60}{\sin 40}+4\cos 100$$.

а) Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{2\sin 10^\circ}-2\sin 70^\circ=\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin 70^\circ\sin 10^\circ=\cos(70^\circ-10^\circ)-\cos(70^\circ+10^\circ)$$

Тогда

$$\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=\frac{1-2(\cos 60^\circ-\cos 80^\circ)}{2\sin 10^\circ}$$

$$=\frac{1-2\cdot \frac12+2\cos 80^\circ}{2\sin 10^\circ}=\frac{2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=1$$

Ответ: 1.

б) Преобразуем выражение:

$$\frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ=\frac{\tg 60^\circ+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ а

$$2\sin 40^\circ\cos 100^\circ=\sin(40^\circ+100^\circ)+\sin(40^\circ-100^\circ),$$

получаем

$$\frac{\sqrt{3}+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}=\frac{\sqrt{3}+2(\sin 140^\circ+\sin(-60^\circ))}{\sin 40^\circ}$$

$$=\frac{\sqrt{3}+2\sin 140^\circ-2\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Так как $$\sin 140^\circ=\sin 40^\circ$$ и $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$\frac{\sqrt{3}+2\sin 40^\circ-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 40^\circ}=\frac{2\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}=2$$

Ответ: 2.