Упр.23.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

а) $$\cos^2 3+\cos^2 1-\cos 4\cdot\cos 2$$;

б) $$\sin^2 10+\cos 50\cdot\cos 70$$.

а) Используем формулы

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}.$$

Тогда

$$\cos^2 3^\circ+\cos^2 1^\circ-\cos 4^\circ\cdot \cos 2^\circ = \frac{1+\cos 6^\circ}{2}+\frac{1+\cos 2^\circ}{2}-\frac{\cos(4^\circ+2^\circ)+\cos(4^\circ-2^\circ)}{2}.$$

$$= \frac{1+\cos 6^\circ}{2}+\frac{1+\cos 2^\circ}{2}-\frac{\cos 6^\circ+\cos 2^\circ}{2} = \frac{2}{2}=1.$$

Ответ: $$1$$

б) Аналогично:

$$\sin^2 10^\circ+\cos 50^\circ\cdot \cos 70^\circ = \frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{\cos(50^\circ+70^\circ)+\cos(50^\circ-70^\circ)}{2}.$$

$$= \frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{\cos 120^\circ+\cos(-20^\circ)}{2} = \frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{-\frac12+\cos 20^\circ}{2}.$$

$$= \frac{1}{2}-\frac{\cos 20^\circ}{2}-\frac{1}{4}+\frac{\cos 20^\circ}{2} = \frac{1}{4}.$$

Ответ: $$\frac{1}{4}$$