Упр.23.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$2\sin t \cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t$$;
   б) $$\sin a-2\sin\left(\frac{a}{2}-15\right)\cdot\cos\left(\frac{a}{2}+15\right)=\frac{1}{2}$$.

а) Используем формулу произведения синусов:

$$2\sin t\cdot \sin 2t=\cos(t-2t)-\cos(t+2t)=\cos(-t)-\cos 3t=\cos t-\cos 3t.$$

Тогда

$$2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=(\cos t-\cos 3t)+\cos 3t=\cos t.$$

Тождество доказано.

б) Применим формулу произведения синуса и косинуса:

$$2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin\left(\left(\frac a2-15^\circ\right)+\left(\frac a2+15^\circ\right)\right)+\sin\left(\left(\frac a2-15^\circ\right)-\left(\frac a2+15^\circ\right)\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin a+\sin(-30^\circ)=\sin a-\frac12.$$

Следовательно,

$$\sin a-2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin a-\left(\sin a-\frac12\right)=\frac12.$$

Тождество доказано.