Упр.23.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\sin x\cdot\cos 3x+\sin 4x=0$$; б) $$\sin\frac{x}{2}\cdot\sin\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}$$.

а) $$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin x\cos 3x=\sin( x+3x)+\sin(x-3x)=\sin 4x+\sin(-2x).$$

Тогда

$$\sin 4x+\sin(-2x)+\sin 4x=0,$$

$$2\sin 4x-\sin 2x=0.$$

Так как $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,$$ получаем

$$4\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x(4\cos 2x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos 2x-1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$4\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac14 \Rightarrow 2x=\pm \arccos\frac14+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin\frac{x}{2}\cdot \sin\frac{3x}{2}=\frac12$$

Применим формулу произведения в сумму:

$$\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac12\left(\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)\right).$$

Тогда

$$\frac12(\cos(-x)-\cos 2x)=\frac12,$$

$$\cos x-\cos 2x=1.$$

Подставим $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$\cos x-(2\cos^2 x-1)=1,$$

$$2\cos^2 x-\cos x=0,$$

$$\cos x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ или $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$