Упр.23.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-0{,}25=0$$;
   б) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$.

а) Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{1}{4}=0.$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},$$ получаем

$$\frac{1}{2}\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}=0,$$

$$\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{1}{2},$$

$$\cos 2x=1.$$

Следовательно,

$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1\right)=1,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Значит,

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$