Упр.23.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos a \cdot \sin(a+b)$$; б) $$\sin(60+a)\cdot\sin(60-a)$$; в) $$\sin b\cdot\cos(a+b)$$; г) $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$.

Используем формулы преобразования произведения в сумму:

$$\cos x\sin y=\frac{1}{2}\bigl(\sin(y+x)+\sin(y-x)\bigr),$$

$$\sin x\sin y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr),$$

$$\sin x\cos y=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr),$$

$$\cos x\cos y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr).$$

1. $$\cos a\cdot \sin(a+b)=\frac{1}{2}\bigl(\sin((a+b)+a)+\sin((a+b)-a)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(2a+b)+\sin b\bigr).$$

2. $$\sin(60^\circ+a)\cdot \sin(60^\circ-a)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((60^\circ+a)-(60^\circ-a))-\cos((60^\circ+a)+(60^\circ-a))\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\cos 2a-\cos 120^\circ\bigr)=\frac{1}{2}\cos 2a+\frac{1}{4}.$$

3. $$\sin b\cdot \cos(a+b)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(b+a+b)+\sin(b-(a+b))\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2b)-\sin a\bigr).$$

4. $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)+\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)$$

   $$=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos 2a.$$

Ответ:

а) $$\frac{1}{2}\bigl(\sin(2a+b)+\sin b\bigr);$$
б) $$\frac{1}{2}\cos 2a+\frac{1}{4};$$
в) $$\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2b)-\sin a\bigr);$$
г) $$\frac{1}{2}\cos 2a.$$