Упр.23.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}$$

$$\cos x\cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}$$

$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y)$$

Решение

1. $$\sin(a+b)\sin(a-b)=\frac{\cos\big((a+b)-(a-b)\big)-\cos\big((a+b)+(a-b)\big)}{2}$$

   $$=\frac{\cos 2b-\cos 2a}{2}$$

2. $$\cos(a+b)\cos(a-b)=\frac{\cos\big((a+b)-(a-b)\big)+\cos\big((a+b)+(a-b)\big)}{2}$$

   $$=\frac{\cos 2b+\cos 2a}{2}$$

3. $$\cos\left(\frac a2+\frac b2\right)\cos\left(\frac a2-\frac b2\right)=\frac{\cos\left(\left(\frac a2+\frac b2\right)-\left(\frac a2-\frac b2\right)\right)+\cos\left(\left(\frac a2+\frac b2\right)+\left(\frac a2-\frac b2\right)\right)}{2}$$

   $$=\frac{\cos b+\cos a}{2}$$

4. $$2\sin(a+b)\cos(a-b)=\sin\big((a+b)+(a-b)\big)+\sin\big((a+b)-(a-b)\big)$$

   $$=\sin 2a+\sin 2b$$

Ответ

1. $$\frac{\cos 2b-\cos 2a}{2}$$
2. $$\frac{\cos 2a+\cos 2b}{2}$$
3. $$\frac{\cos a+\cos b}{2}$$
4. $$\sin 2a+\sin 2b$$