Упр.23.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество $$\cos^2(45-а)-\cos^2(60+а)-\cos 75\cdot\sin(75-2а)=\sin 2а$$.

Используем формулы приведения и формулу понижения степени:

$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)$$
$$=\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)$$
$$=\frac{\sin2a-\cos(120^\circ+2a)}{2}-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a).$$

Так как $$\cos(120^\circ+2a)=\cos\bigl(90^\circ+(30^\circ+2a)\bigr)=-\sin(30^\circ+2a),$$ а также

$$\cos75^\circ=\sin15^\circ=\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2\sin(75^\circ-2a)}$$

то после преобразований получаем:

$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)$$
$$=\frac{1}{2}\bigl(\sin2a-\cos(90^\circ+(30^\circ+2a))-\sin(180^\circ-(30^\circ+2a))-\sin2a\bigr)$$
$$=\frac{1}{2}\bigl(2\sin2a+\sin(30^\circ+2a)-\sin(30^\circ+2a)\bigr)=\sin2a.$$

Ответ: тождество верно.