Упр.23.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=f(x)$$, если:
а) $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cdot\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right)$$;
б) $$f(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\cdot\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right) =\frac12\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{8}+x-\frac{\pi}{24}\right)+\sin\left(x+\frac{\pi}{8}-x+\frac{\pi}{24}\right)\right)$$

$$=\frac12\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\frac{\pi}{6}\right) =\frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac14.$$

Так как $$-1\le \sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\le 1,$$ то

$$-\frac12\le \frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\le \frac12,$$

следовательно,

$$-\frac14\le \frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac14\le \frac34.$$

Значит, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=\frac34.$$

б) Преобразуем произведение:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) =\frac12\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}+x+\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

$$=\frac12\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)-\cos 2x\right) =\frac12\left(-\frac12-\cos 2x\right) =-\frac14-\frac12\cos 2x.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-\frac12\le -\frac12\cos 2x\le \frac12,$$

следовательно,

$$-\frac34\le -\frac14-\frac12\cos 2x\le \frac14.$$

Значит, $$y_{\min}=-\frac34,$$ $$y_{\max}=\frac14.$$

Ответ: а) $$-\frac14,\ \frac34$$; б) $$-\frac34,\ \frac14$$.