Упр.23.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:
   а) $$\sin x \cdot \sin 3x = 0{,}5$$;
   б) $$\cos x \cdot \cos 3x + 0{,}5 = 0$$.

Используем формулы приведения произведения к сумме.

а)

$$\sin x\cdot \sin 3x=\frac{\cos(x-3x)-\cos(x+3x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}$$

Тогда

$$\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}=\frac12$$
$$\cos 2x-\cos 4x=1$$

Так как $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1,$$ получаем

$$\cos 2x-(2\cos^2 2x-1)=1$$
$$2\cos^2 2x-\cos 2x=0$$
$$\cos 2x\,(2\cos 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12$$

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$

$$\cos 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k$$

Наименьший положительный корень: $$\frac{\pi}{6}.$$

Наибольший отрицательный корень: $$-\frac{\pi}{6}.$$

б)

$$\cos x\cdot \cos 3x=\frac{\cos(x-3x)+\cos(x+3x)}{2}=\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}+\frac12=0$$
$$\cos 2x+\cos 4x+1=0$$

Подставим $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$:

$$\cos 2x+2\cos^2 2x-1+1=0$$
$$2\cos^2 2x+\cos 2x=0$$
$$\cos 2x\,(2\cos 2x+1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12$$

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$

$$\cos 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k$$

Наименьший положительный корень: $$\frac{\pi}{4}.$$

Наибольший отрицательный корень: $$-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$x_{\min}^{+}=\frac{\pi}{6},\; x_{\max}^{-}=-\frac{\pi}{6}.$$

б) $$x_{\min}^{+}=\frac{\pi}{4},\; x_{\max}^{-}=-\frac{\pi}{4}.$$