Упр.23.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}$$;
   б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2 x=0$$;
   в) $$\sin 2x\cdot\cos x=\sin x\cdot\cos 2x$$;
   г) $$\cos 2x\cdot\cos x=\cos 2{,}5x\cdot\cos 0{,}5x$$.

а) Преобразуем левую и правую части по формулам суммы синусов:

$$\sin 3x \cdot \cos x=\frac{1}{2}\bigl(\sin(3x+x)+\sin(3x-x)\bigr),$$

$$\sin \frac{5x}{2}\cdot \cos \frac{3x}{2}=\frac{1}{2}\bigl(\sin\bigl(\frac{5x}{2}+\frac{3x}{2}\bigr)+\sin\bigl(\frac{5x}{2}-\frac{3x}{2}\bigr)\bigr).$$

Тогда

$$\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)=\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin x),$$

$$\sin 2x-\sin x=0,$$

$$2\sin \frac{2x+x}{2}\cos \frac{2x-x}{2}=0,$$

$$\sin x\,(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

Получаем:

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Используем формулу произведения синусов:

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos 2x-\cos \frac{\pi}{2}.$$

Так как $$\cos \frac{\pi}{2}=0,$$ то

$$\cos 2x+\sin^2 x=0.$$

Подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=0,$$

$$\cos^2 x=0,$$

$$\cos x=0.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

в) Преобразуем обе части по формуле суммы синусов:

$$\sin 2x\cdot \cos x=\frac{1}{2}\bigl(\sin(2x+x)+\sin(2x-x)\bigr),$$

$$\sin x\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x+2x)+\sin(x-2x)\bigr).$$

Тогда

$$\frac{1}{2}(\sin 3x+\sin x)=\frac{1}{2}(\sin 3x-\sin x),$$

$$2\sin x=0,$$

$$\sin x=0.$$

Значит,

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

г) Преобразуем произведения в суммы:

$$\cos 2x\cdot \cos x=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2x-x)+\cos(2x+x)\bigr),$$

$$\cos 2{,}5x\cdot \cos 0{,}5x=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2{,}5x-0{,}5x)+\cos(2{,}5x+0{,}5x)\bigr).$$

Получаем

$$\cos x+\cos 3x=\cos 2x+\cos 3x,$$

$$\cos x-\cos 2x=0.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$\cos x-(2\cos^2 x-1)=0,$$

$$2\cos^2 x-\cos x-1=0,$$

$$\bigl(2\cos x+1\bigr)\bigl(\cos x-1\bigr)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

в) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

г) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ 2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$