Упр.22.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\tg 4a$$;
   б) $$\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\tg 3a\cdot\tg a$$.

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов.

а)

$$\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a} = \frac{2\sin \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}}{2\cos \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}} = \frac{2\sin 4a\cos(-2a)}{2\cos 4a\cos(-2a)} = \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tg 4a.$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a} = \frac{-2\sin \frac{2a+4a}{2}\sin \frac{2a-4a}{2}}{2\cos \frac{2a+4a}{2}\cos \frac{2a-4a}{2}} = \frac{-2\sin 3a\sin(-a)}{2\cos 3a\cos(-a)} = \frac{\sin 3a}{\cos 3a}\cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \tg 3a\cdot \tg a.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\tg 4a,\qquad \frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\tg 3a\cdot \tg a.$$