Упр.22.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x+2=\frac{12}{\pi}x$$;
2. б) $$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2x-\frac{\pi}{2}$$.

а) Преобразуем левую часть к виду с синусом:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2=\frac{12}{\pi}x,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{6x-\pi}{\pi}.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$ и $$y=\frac{6x-\pi}{\pi}.$$ Их единственная точка пересечения соответствует

$$x=\frac{\pi}{3}.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2x-\frac{\pi}{2},$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=x-\frac{\pi}{4}.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ и $$y=x-\frac{\pi}{4}.$$ Их точка пересечения соответствует

$$x=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{3}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.