Упр.22.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right);$$
б) $$\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Подробный ответ

а) Представим левую часть в виде квадрата суммы:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\left(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$$
$$4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-5=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$

Положим $$t=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$. Тогда

$$4t^2- t-5=0$$
$$D=1+80=81$$
$$t_1=\frac{1-9}{8}=-1,\qquad t_2=\frac{1+9}{8}=\frac54$$

Значение $$t_2=\frac54$$ не подходит, так как $$|\sin(\cdot)|\le 1$$. Значит,

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-1$$
$$x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$

Тогда

$$\left(2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$
$$4\sin^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$

Используем тождество $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$4\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1=0$$
$$\left(2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1\right)^2=0$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$