Упр.22.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$$;

б) $$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$.

а) Преобразуем сумму:

$$\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=2\left(\frac12\sin 5x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 5x\right)=2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin A+2\sin B=4\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$

Получаем

$$4\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Следовательно,

$$\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

1) $$11x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11}.$$

2) $$6x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6}.$$

б) Представим линейную комбинацию в виде одной тригонометрической функции:

$$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-t),$$

где

$$13=\sqrt{5^2+12^2}, \qquad \cos t=\frac{5}{13}, \qquad t=\arccos\frac{5}{13}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$13\sin(x-t)+13\sin 3x=0.$$

Делим на $$13$$ и применяем формулу суммы синусов:

$$\sin(x-t)+\sin 3x=2\sin\left(2x-\frac{t}{2}\right)\cos\left(x+\frac{t}{2}\right)=0.$$

Следовательно,

$$\sin\left(2x-\frac{t}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac{t}{2}\right)=0.$$

1) $$2x-\frac{t}{2}=\pi n,$$

$$x=\frac{t}{4}+\frac{\pi n}{2}=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$x+\frac{t}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}+\pi n=\frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11},\ \frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$