Упр.22.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$4\sin x-3\cos x=5$$;

б) $$3\sin 2x+4\cos 2x=2{,}5$$;

в) $$12\sin x+5\cos x+13=0$$;

г) $$5\cos\frac{x}{2}-12\sin\frac{x}{2}=6{,}5$$.

а) $$4\sin x-3\cos x=5.$$

Представим левую часть в виде $$5\sin(x-t)$$:

$$4\sin x-3\cos x=5\left(\frac45\sin x-\frac35\cos x\right)=5\sin(x-t),$$

где

$$\cos t=\frac45,\qquad t=\arccos\frac45.$$

Тогда

$$5\sin(x-t)=5,$$

$$\sin(x-t)=1,$$

$$x-t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+t+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\sin 2x+4\cos 2x=2{,}5.$$

Представим левую часть в виде $$5\sin(2x+t)$$:

$$3\sin 2x+4\cos 2x=5\left(\frac35\sin 2x+\frac45\cos 2x\right)=5\sin(2x+t),$$

где

$$\cos t=\frac35,\qquad t=\arccos\frac35.$$

Тогда

$$5\sin(2x+t)=2{,}5,$$

$$\sin(2x+t)=\frac12.$$

Отсюда

$$2x+t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac{t}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$

Значит,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$12\sin x+5\cos x+13=0.$$

Перенесём число в правую часть:

$$12\sin x+5\cos x=-13.$$

Представим левую часть в виде $$13\cos(x-t)$$:

$$12\sin x+5\cos x=13\left(\frac{12}{13}\sin x+\frac{5}{13}\cos x\right)=13\cos(x-t),$$

где

$$\cos t=\frac{5}{13},\qquad t=\arccos\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$13\cos(x-t)=-13,$$

$$\cos(x-t)=-1,$$

$$x-t=\pi+2\pi n,$$

$$x=\pi+t+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\pi+\arccos\frac{5}{13}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$5\cos\frac{x}{2}-12\sin\frac{x}{2}=6{,}5.$$

Представим левую часть в виде $$13\cos\left(\frac{x}{2}+t\right)$$:

$$5\cos\frac{x}{2}-12\sin\frac{x}{2}=13\left(\frac{5}{13}\cos\frac{x}{2}-\frac{12}{13}\sin\frac{x}{2}\right)=13\cos\left(\frac{x}{2}+t\right),$$

где

$$\cos t=\frac{5}{13},\qquad t=\arccos\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$13\cos\left(\frac{x}{2}+t\right)=6{,}5,$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}+t\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}+t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2t+4\pi n.$$

Значит,

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2\arccos\frac{5}{13}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi+\arccos\frac{5}{13}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2\arccos\frac{5}{13}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$