Упр.22.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{2}$$;

б) $$\sin 5x-\cos 5x=\frac{\sqrt{6}}{2}$$;

в) $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{2}+1=0$$;

г) $$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=1$$.

a) $$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{2}$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=2\left(\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x\right)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt2,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$2x+\frac{\pi}{6}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

б) $$\sin 5x-\cos 5x=\frac{\sqrt6}{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x-\cos 5x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin 5x-\frac{\sqrt2}{2}\cos 5x\right)=\sqrt2\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt6}{2},$$

$$\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$5x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}.$$

в) $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}+1=0$$

Перенесём единицу вправо:

$$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}=-1.$$

Представим левую часть в виде одной функции:

$$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}=2\left(\frac12\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\sin\frac{x}{2}\right)=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Получаем:

$$x=-2\pi+4\pi n$$

или

$$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

г) $$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=1$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=\sqrt2\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=6\pi n$$

или

$$x=\frac{3\pi}{2}+6\pi n.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-2\pi+4\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=6\pi n,\ \frac{3\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$