Упр.22.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции:

а) $$y=\sqrt{2}(\sin x+\cos x)$$; б) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$; в) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$; г) $$y=\sin x-\cos x$$.

а) $$y=\sqrt2(\sin x+\cos x)=\sqrt2\sin x+\sqrt2\cos x.$$

Представим функцию в виде $$y=C\sin(x+t).$$ Тогда

$$C=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt4=2,$$

а значит

$$\sqrt2(\sin x+\cos x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Это график синуса с амплитудой $$2$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{4}$$.

б) $$y=\sqrt3\sin x+\cos x.$$

Ищем вид $$y=C\sin(x+t).$$ Тогда

$$C=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2,$$

следовательно,

$$\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Это синусоида с амплитудой $$2$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{6}$$.

в) $$y=\sin x-\sqrt3\cos x.$$

Представим функцию в виде $$y=C\sin(x-t).$$ Тогда

$$C=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2,$$

поэтому

$$\sin x-\sqrt3\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Это график синуса с амплитудой $$2$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{3}$$.

г) $$y=\sin x-\cos x.$$

Аналогично получаем

$$C=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,$$

значит

$$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Это синусоида с амплитудой $$\sqrt2$$, сдвинутая вправо на $$\frac{\pi}{4}$$.

Ответ:

а) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right);$$ б) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right);$$ в) $$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right);$$ г) $$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$