Упр.22.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: а) $$y=3\sin 2x-4\cos 2x$$; б) $$y=5\cos 3x+12\sin 3x$$; в) $$y=7\sin\frac{x}{2}+24\cos\frac{x}{2}$$; г) $$y=8\cos\frac{x}{3}-15\sin\frac{x}{3}$$.

а) $$y=3\sin 2x-4\cos 2x$$

Представим функцию в виде $$C\sin(2x+t)$$. Тогда

$$C=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5.$$

Значит, $$y=5\sin(2x+t),$$ а так как $$-1\le \sin(2x+t)\le 1,$$ то

$$-5\le y\le 5.$$

б) $$y=5\cos 3x+12\sin 3x$$

Преобразуем к виду $$C\cos(3x-t)$$. Получаем

$$C=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13.$$

Следовательно, $$y=13\cos(3x-t),$$ поэтому

$$-13\le y\le 13.$$

в) $$y=7\sin \frac{x}{2}+24\cos \frac{x}{2}$$

Имеем

$$C=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25.$$

Тогда $$y=25\sin\left(\frac{x}{2}+t\right),$$ а значит

$$-25\le y\le 25.$$

г) $$y=8\cos \frac{x}{3}-15\sin \frac{x}{3}$$

Найдём коэффициент:

$$C=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{289}=17.$$

Следовательно, $$y=17\cos\left(\frac{x}{3}+t\right),$$ поэтому

$$-17\le y\le 17.$$

Ответ

а) $$[-5;5]$$; б) $$[-13;13]$$; в) $$[-25;25]$$; г) $$[-17;17]$$.