Упр.22.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$;

б) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$;

в) $$y=\sin x-\cos x$$;

г) $$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$.

Используем представление выражения вида $$A\sin x+B\cos x$$ в форме $$C\sin(x+t)$$, где $$C=\sqrt{A^2+B^2}.$$ Тогда наибольшее значение функции равно $$C,$$ а наименьшее — $$-C.$$

1. $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$

   $$C=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.$$

   Значит, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

2. $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$

   $$C=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2.$$

   Значит, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

3. $$y=\sin x-\cos x$$

   $$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.$$

   Значит, $$y_{\min}=-\sqrt{2},$$ $$y_{\max}=\sqrt{2}.$$

4. $$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$

   $$C=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{6+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

   Значит, $$y_{\min}=-2\sqrt{2},$$ $$y_{\max}=2\sqrt{2}.$$

Ответ: а) $$-2; 2$$; б) $$-2; 2$$; в) $$-\sqrt{2}; \sqrt{2}$$; г) $$-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}$$.