Упр.22.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$$;

б) $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$$;

в) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$$;

г) $$\sin x-\cos x=1$$.

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$$

Представим левую часть в виде $$2\sin(x+t)$$:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

б) $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

в) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$$

Представим левую часть в виде $$2\sin(x-t)$$:

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$

г) $$\sin x-\cos x=1$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$