Упр.22.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$3\sin x+4\cos x$$;
• б) $$5\cos x-12\sin x$$;
• в) $$7\sin x-24\cos x$$;
• г) $$8\cos x+15\sin x$$.

а) $$3\sin x+4\cos x=5\left(\frac35\sin x+\frac45\cos x\right).$$

Пусть $$\cos t=\frac35,\qquad \sin t=\frac45.$$ Тогда

$$\frac35\sin x+\frac45\cos x=\sin(x+t),$$

значит

$$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+t),\qquad t=\arccos\frac35.$$

Итак,

$$3\sin x+4\cos x=5\sin\left(x+\arccos\frac35\right).$$

б) $$5\cos x-12\sin x=13\left(\frac5{13}\cos x-\frac{12}{13}\sin x\right).$$

Пусть $$\cos t=\frac5{13},\qquad \sin t=\frac{12}{13}.$$ Тогда

$$\frac5{13}\cos x-\frac{12}{13}\sin x=\cos(x+t),$$

значит

$$5\cos x-12\sin x=13\cos(x+t),\qquad t=\arcsin\frac{12}{13}.$$

Итак,

$$5\cos x-12\sin x=13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right).$$

в) $$7\sin x-24\cos x=25\left(\frac7{25}\sin x-\frac{24}{25}\cos x\right).$$

Пусть $$\cos t=\frac7{25},\qquad \sin t=\frac{24}{25}.$$ Тогда

$$\frac7{25}\sin x-\frac{24}{25}\cos x=\sin(x-t),$$

значит

$$7\sin x-24\cos x=25\sin(x-t),\qquad t=\arcsin\frac{24}{25}.$$

Итак,

$$7\sin x-24\cos x=25\sin\left(x-\arcsin\frac{24}{25}\right).$$

г) $$8\cos x+15\sin x=17\left(\frac8{17}\cos x+\frac{15}{17}\sin x\right).$$

Пусть $$\cos t=\frac8{17},\qquad \sin t=\frac{15}{17}.$$ Тогда

$$\frac8{17}\cos x+\frac{15}{17}\sin x=\cos(x-t),$$

значит

$$8\cos x+15\sin x=17\cos(x-t),\qquad t=\arccos\frac8{17}.$$

Итак,

$$8\cos x+15\sin x=17\cos\left(x-\arccos\frac8{17}\right).$$