Упр.22.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Преобразуйте данное выражение к виду $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x+t)$$:

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x$$;

б) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$;

в) $$\sin x-\cos x$$;

г) $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x$$.

Используем формулы

$$A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t), \qquad C=\sqrt{A^2+B^2}$$

или

$$A\sin x+B\cos x=C\cos(x+t).$$

1. $$\sqrt3\sin x+\cos x$$

   $$C=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2$$

   Тогда

   $$\sqrt3\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

2. $$\sin x+\sqrt3\cos x$$

   $$C=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2$$

   Тогда

   $$\sin x+\sqrt3\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

3. $$\sin x-\cos x$$

   $$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$$

   Тогда

   $$\sin x-\cos x=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin x-\frac{1}{\sqrt2}\cos x\right)=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

4. $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x$$

   $$C=\sqrt{2^2+(-\sqrt{12})^2}=\sqrt{4+12}=4$$

   Тогда

   $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Ответ: а) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$; б) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$; в) $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$; г) $$4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$.