Упр.22.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу $$(0; 2{,}5)$$:
   а) $$\cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x$$;
   б) $$\sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0$$.

а) Преобразуем левую и правую части, используя формулу

$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$\cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x$$

$$(\cos 12x-\cos 8x)+(\cos 10x-\cos 6x)=0$$

$$-2\sin 10x\sin 2x-2\sin 8x\sin 2x=0$$

$$-2\sin 2x(\sin 10x+\sin 8x)=0$$

$$-2\sin 2x\cdot 2\sin 9x\cos x=0$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 9x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi n}{9}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На интервале $$\left(0;2{,}5\right)$$ получаем корни:

$$\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9},\ \frac{\pi}{2}.$$

б) Вынесем общий множитель:

$$\sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0$$

$$(\sin 2x+\sin 6x)+5\sin 4x=0$$

$$2\sin 4x\cos 2x+5\sin 4x=0$$

$$\sin 4x(2\cos 2x+5)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+5=0.$$

Уравнение $$2\cos 2x+5=0$$ не имеет решений, так как

$$\cos 2x=-\frac{5}{2}$$

невозможно.

Значит,

$$\sin 4x=0,\quad 4x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

На интервале $$\left(0;2{,}5\right)$$ получаем:

$$\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9},\ \frac{\pi}{2}$$

б) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}$$