Упр.22.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$:
   а) $$\sin 2x+\sin 6x=\cos 2x$$;
   б) $$2\cos^2 x-1=\sin 3x$$?

а) Преобразуем левую часть по формуле суммы синусов:

$$\sin 2x+\sin 6x=2\sin 4x\cos 2x$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin 4x\cos 2x-\cos 2x=0$$

$$\cos 2x\,(2\sin 4x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=\frac12$$

1) $$\cos 2x=0$$, тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем только $$x=\frac{\pi}{4}$$.

2) $$\sin 4x=\frac12$$, тогда

$$4x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем корни

$$x=\frac{\pi}{24},\quad x=\frac{5\pi}{24}$$

Итак, всего 3 корня.

б) Используем формулу $$2\cos^2 x-1=\cos 2x$$:

$$\cos 2x=\sin 3x$$

Представим $$\sin 3x$$ как косинус:

$$\sin 3x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)$$

Тогда

$$\cos 2x-\cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0$$

По формуле разности косинусов:

$$-2\sin\frac{2x+\frac{\pi}{2}-3x}{2}\sin\frac{2x-\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}{2}=0$$

$$2\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Следовательно,

$$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

1) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$, тогда

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{2}$$.

2) $$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$, тогда

$$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ при $$n=0$$ получаем $$x=\frac{\pi}{10}$$, при $$n=1$$ получаем $$x=\frac{\pi}{2}$$.

Итак, всего 2 корня.

Ответ

а) 3 корня; б) 2 корня.