Упр.22.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0$$; б) $$\sin 5x+\sin x+2\sin^2 x=1$$.

а) Преобразуем сумму, используя формулы приведения к произведению:

$$\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0$$

$$(\sin x+\sin 3x)+(\cos x+\cos 3x)=0$$

$$2\sin 2x\cos(-x)+2\cos 2x\cos(-x)=0$$

$$2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0$$

или

$$\sin 2x+\cos 2x=0$$

Во втором случае делим на $$\cos 2x$$:

$$\tan 2x=-1$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

или

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x+\sin x+2\sin^2 x=1$$

$$(\sin 5x+\sin x)+2\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}=1$$

$$2\sin 3x\cos 2x+1-\cos 2x=1$$

$$2\sin 3x\cos 2x-\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(2\sin 3x-1)=0$$

Следовательно,

$$\cos 2x=0$$

или

$$2\sin 3x-1=0$$

1) Если $$\cos 2x=0$$, то

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2) Если $$\sin 3x=\frac12$$, то

$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$