Упр.22.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\tg x+\tg 5x=0$$; б) $$\tg 3x=\ctg x$$; в) $$\tg 2x=\tg 4x$$; г) $$\ctg\frac{x}{2}+\ctg\frac{3x}{2}=0$$.

а) $$\tg x+\tg 5x=0$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0$$

$$\frac{\sin x\cos 5x+\cos x\sin 5x}{\cos x\cos 5x}=0$$

$$\sin(x+5x)=0$$

$$\sin 6x=0$$

$$6x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{6}$$

Проверим область допустимых значений:

$$\cos x\ne 0,\quad \cos 5x\ne 0$$

Из найденных значений подходят все, кроме тех, при которых $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$.

Итак, решения:

$$x=\frac{\pi n}{6},\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z,\ \text{при } \cos x\ne 0,\ \cos 5x\ne 0.$$

б) $$\tg 3x=\ctg x$$

$$\tg 3x-\ctg x=0$$

$$\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\cos x}{\sin x}=0$$

$$\frac{\sin 3x\sin x-\cos x\cos 3x}{\sin x\cos 3x}=0$$

$$-\cos(3x+x)=0$$

$$\cos 4x=0$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

Проверка ОДЗ:

$$\sin x\ne 0,\quad \cos 3x\ne 0$$

Полученные значения этим условиям не противоречат.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\tg 2x=\tg 4x$$

$$\tg 2x-\tg 4x=0$$

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\sin 4x}{\cos 4x}=0$$

$$\frac{\sin 2x\cos 4x-\cos 2x\sin 4x}{\cos 2x\cos 4x}=0$$

$$\sin(2x-4x)=0$$

$$\sin 2x=0$$

$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}$$

Проверка ОДЗ:

$$\cos 2x\ne 0,\quad \cos 4x\ne 0$$

При найденных значениях эти условия выполняются.

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$\ctg \frac{x}{2}+\ctg \frac{3x}{2}=0$$

$$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}}=0$$

$$\frac{\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$

$$\sin 2x=0$$

$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}$$

Проверка ОДЗ:

$$\sin \frac{x}{2}\ne 0,\quad \sin \frac{3x}{2}\ne 0$$

Отсюда исключаются значения $$x=2\pi n$$ и $$x=\frac{2\pi n}{3}$$. Среди решений остаются:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$