Упр.22.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\sin^2 x+\cos 5x=1$$; б) $$2\sin^2 3x-1=\cos^2 4x-\sin^2 4x$$.

а) $$2\sin^2 x+\cos 5x=1$$

Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$:

$$1-\cos 2x+\cos 5x=1$$

$$\cos 5x-\cos 2x=0$$

Применим формулу разности косинусов:

$$-2\sin\frac{5x+2x}{2}\sin\frac{5x-2x}{2}=0$$

$$-2\sin\frac{7x}{2}\sin\frac{3x}{2}=0$$

Отсюда

$$\sin\frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{3x}{2}=0$$

Тогда

$$\frac{7x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{7}$$

или

$$\frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}$$

где $$n\in\mathbb Z$$.

б) $$2\sin^2 3x-1=\cos^2 4x-\sin^2 4x$$

Преобразуем левую и правую части:

$$2\sin^2 3x-1=-\cos 6x,\qquad \cos^2 4x-\sin^2 4x=\cos 8x$$

Тогда

$$-\cos 6x=\cos 8x$$

$$\cos 8x+\cos 6x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$2\cos\frac{8x+6x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2}=0$$

$$2\cos 7x\cos x=0$$

Следовательно,

$$\cos 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

Отсюда

$$7x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}$$

или

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

где $$n\in\mathbb Z$$.

Ответ: а) $$x=\frac{2\pi n}{7}$$ или $$x=\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.