Упр.22.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$1+\cos 6x=2\sin^2 5x$$; б) $$\cos^2 2x=\cos^2 4x$$; в) $$\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{7x}{2}$$; г) $$\sin^2 x+\sin 3x=1$$.

а) $$1+\cos 6x=2\sin^2 5x$$

$$1+\cos 6x=1-\cos 10x$$

$$\cos 10x+\cos 6x=0$$

$$2\cos 8x\cos 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

$$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos^2 2x=\cos^2 4x$$

$$\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 8x}{2}$$

$$\cos 4x=\cos 8x$$

$$\cos 4x-\cos 8x=0$$

$$-2\sin 6x\sin(-2x)=0$$

$$2\sin 6x\sin 2x=0$$

Отсюда:

$$\sin 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0$$

$$6x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{6}$$

$$2x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2}$$

Так как множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{6}$$, получаем:

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb Z$$

в) $$\sin^2 \frac{x}{2}=\cos^2 \frac{7x}{2}$$

$$\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1+\cos 7x}{2}$$

$$-\cos x=\cos 7x$$

$$\cos 7x+\cos x=0$$

$$2\cos 4x\cos 3x=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

г) $$\sin^2 x+\sin^2 3x=1$$

$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1$$

$$2-\cos 2x-\cos 6x=2$$

$$\cos 2x+\cos 6x=0$$

$$2\cos 4x\cos 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$