Упр.22.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\cos x+\cos 3x=0$$;
б) $$\sin 12x+\sin 4x=0$$;
в) $$\cos x=\cos 5x$$;
г) $$\sin 3x=\sin 17x$$.

а) $$\cos x+\cos 3x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$$

Тогда

$$2\cos 2x\cos x=0$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$\sin 12x+\sin 4x=0$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 12x+\sin 4x=2\sin 8x\cos 4x$$

Тогда

$$2\sin 8x\cos 4x=0$$

Отсюда

$$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0$$

1) $$\sin 8x=0 \Rightarrow 8x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{8},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$\cos x=\cos 5x$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 5x=0$$

$$-2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2}=0$$

$$-2\sin 3x\sin(-2x)=0$$

$$2\sin 3x\sin 2x=0$$

Отсюда

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0$$

1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}$$

2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

г) $$\sin 3x=\sin 17x$$

Перенесём в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 3x-\sin 17x=0$$

$$2\cos\frac{3x+17x}{2}\sin\frac{3x-17x}{2}=0$$

$$2\cos 10x\sin(-7x)=0$$

$$-2\cos 10x\sin 7x=0$$

$$\cos 10x\sin 7x=0$$

Отсюда

$$\sin 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos 10x=0$$

1) $$\sin 7x=0 \Rightarrow 7x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{7}$$

2) $$\cos 10x=0 \Rightarrow 10x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{7},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10},\ n\in\mathbb Z$$