Упр.22.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin x+\sin 2x-\sin 3x=0$$; б) $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$.

а) $$\sin x+\sin 2x-\sin 3x=0$$

Используем формулу $$\sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$$ и преобразуем выражение:

$$\sin x+\sin 2x-\sin 3x=0$$

$$\sin x+\sin 2x-(\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x)=0$$

Удобнее сразу применить формулы суммы и разности:

$$\sin x-\sin 3x+ \sin 2x=0$$

$$2\cos 2x\sin(-x)+2\sin x\cos x=0$$

$$-2\sin x\cos 2x+2\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x(\cos x-\cos 2x)=0$$

$$2\sin x\bigl(\cos x-(2\cos^2 x-1)\bigr)=0$$

$$2\sin x(1+\cos x-2\cos^2 x)=0$$

$$2\sin x(2\cos x+1)(1-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Решения:

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,$$

$$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$

$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k.$$

Так как $$x=2\pi k$$ входит в множество $$x=\pi k,$$ окончательно получаем:

$$x=\pi k,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos 3x-\cos 5x=-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}$$

$$\cos 3x-\cos 5x=-2\sin 4x\sin(-x)=2\sin 4x\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2\sin 4x\sin x=\sin 4x$$

$$\sin 4x(2\sin x-1)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$

1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi k}{4},\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi k,\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi k}{4},\ (-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$