Упр.22.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Вычислите: а) $$\sin^2 10+\sin^2 130+\sin^2 110$$; б) $$\cos^2 35+\cos^2 25-\cos^2 5$$.
а) Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:
$$\sin^2 10^\circ+\sin^2 130^\circ+\sin^2 110^\circ= \frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{1-\cos 260^\circ}{2}+\frac{1-\cos 220^\circ}{2}$$
$$=\frac{3-\cos 20^\circ-\cos 260^\circ-\cos 220^\circ}{2}$$
Так как $$\cos 260^\circ=\cos(270^\circ-10^\circ)=-\sin 10^\circ,$$ а $$\cos 220^\circ=\cos(180^\circ+40^\circ)=-\cos 40^\circ,$$ то
$$\frac{3-\cos 20^\circ+\sin 10^\circ+\cos 40^\circ}{2}$$
Кроме того, $$\cos 40^\circ-\cos 20^\circ=-2\sin 30^\circ\sin 10^\circ=-\sin 10^\circ,$$ значит
$$\frac{3+\sin 10^\circ+\cos 40^\circ-\cos 20^\circ}{2} = \frac{3+\sin 10^\circ-\sin 10^\circ}{2} = \frac{3}{2}.$$
б) Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:
$$\cos^2 35^\circ+\cos^2 25^\circ-\cos^2 5^\circ= \frac{1+\cos 70^\circ}{2}+\frac{1+\cos 50^\circ}{2}-\frac{1+\cos 10^\circ}{2}$$
$$=\frac{1+\cos 70^\circ+\cos 50^\circ-\cos 10^\circ}{2}.$$
Так как $$\cos 70^\circ+\cos 50^\circ=2\cos 60^\circ\cos 10^\circ=\cos 10^\circ,$$ получаем
$$\frac{1+\cos 10^\circ-\cos 10^\circ}{2}=\frac{1}{2}.$$
Ответ: а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$\frac{1}{2}$$.
