Упр.22.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите $$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}$$, если $$\operatorname{ctg}4a=0{,}2$$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a} = \frac{(\sin a+\sin 7a)+(\sin 3a+\sin 5a)}{(\cos a+\cos 7a)+(\cos 3a+\cos 5a)}.$$

Применим формулы суммы синусов и косинусов:

$$\sin a+\sin 7a=2\sin 4a\cos 3a,\qquad \sin 3a+\sin 5a=2\sin 4a\cos a,$$

$$\cos a+\cos 7a=2\cos 4a\cos 3a,\qquad \cos 3a+\cos 5a=2\cos 4a\cos a.$$

Тогда

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a} = \frac{2\sin 4a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 4a(\cos 3a+\cos a)} = \tan 4a.$$

Так как $$\ctg 4a=0{,}2,$$ то

$$\tan 4a=\frac{1}{\ctg 4a}=\frac{1}{0{,}2}=5.$$

Ответ

$$5$$