Упр.22.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2(a+b)-\sin^2(a-b)=\sin 2a\cdot\sin 2b$$;
2. б) $$\cos^2(a-b)-\cos^2(a+b)=\sin 2a\cdot\sin 2b$$.

а) Докажем тождество:

$$\sin^2(a+b)-\sin^2(a-b)=\sin 2a\cdot \sin 2b$$

Используем формулу разности квадратов и формулы суммы и разности синусов:

$$\sin^2(a+b)-\sin^2(a-b)=\bigl(\sin(a+b)-\sin(a-b)\bigr)\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr)$$

$$=2\cos a\sin b\cdot 2\sin a\cos b =4\sin a\cos a\sin b\cos b$$

$$=(2\sin a\cos a)(2\sin b\cos b)=\sin 2a\cdot \sin 2b$$

Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

$$\cos^2(a-b)-\cos^2(a+b)=\sin 2a\cdot \sin 2b$$

Аналогично применим формулу разности квадратов и формулы суммы и разности косинусов:

$$\cos^2(a-b)-\cos^2(a+b)=\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)\bigl(\cos(a-b)+\cos(a+b)\bigr)$$

$$=2\sin a\sin b\cdot 2\cos a\cos b =4\sin a\cos a\sin b\cos b$$

$$=(2\sin a\cos a)(2\sin b\cos b)=\sin 2a\cdot \sin 2b$$

Тождество доказано.