Упр.22.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

б) $$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\tg 2x$$

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=\left(\sin x+\sin y\right)+\sin(x-y)$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Тогда

$$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}+\sin(x-y)$$

Но правая часть, указанная в условии, равна

$$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Следовательно, данное равенство в таком виде не является тождеством.

б) Преобразуем дробь:

$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$$

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$$

Тогда

$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x} =\frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tg 2x$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) данное равенство не является тождеством; б) $$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\tg 2x$$.