Упр.22.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin 87-\sin 59-\sin 93+\sin 61=\sin 1$$; б) $$\cos 115-\cos 35+\cos 65+\cos 25=\sin 5$$.

а) $$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ$$

Применим формулы суммы и разности синусов:

$$\sin 87^\circ-\sin 93^\circ=2\cos 90^\circ\sin(-3^\circ)=0,$$

$$\sin 61^\circ-\sin 59^\circ=2\cos 60^\circ\sin 1^\circ=\sin 1^\circ.$$

Тогда

$$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ=\sin 1^\circ.$$

Равенство верно.

б) $$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ$$

Преобразуем выражение:

$$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ=-2\sin 75^\circ\sin 40^\circ,$$

$$\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=2\cos 45^\circ\cos 20^\circ.$$

Удобнее сгруппировать иначе:

$$\cos 115^\circ+\cos 65^\circ=\cos(90^\circ+25^\circ)+\cos(90^\circ-25^\circ)=0,$$

а значит

$$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=\cos 25^\circ-\cos 35^\circ.$$

Теперь используем формулу разности косинусов:

$$\cos 25^\circ-\cos 35^\circ=-2\sin 30^\circ\sin(-5^\circ)=\sin 5^\circ.$$

Следовательно,

$$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=\sin 5^\circ.$$

Равенство верно.

Ответ

а) $$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ=\sin 1^\circ$$;

б) $$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=\sin 5^\circ$$.