Упр.22.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x$$; б) $$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x$$.

а) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 5x+\sin 7x=2\sin \frac{5x+7x}{2}\cos \frac{5x-7x}{2}=2\sin 6x\cos(-x)=2\sin 6x\cos x.$$

Тогда

$$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x=(\sin 5x+\sin 7x)+2\sin 6x$$

$$=2\sin 6x\cos x+2\sin 6x=2\sin 6x(\cos x+1).$$

Так как $$\cos x+1=2\cos^2 \frac{x}{2},$$ получаем

$$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x=4\sin 6x\cos^2 \frac{x}{2}.$$

Ответ: $$4\sin 6x\cos^2 \frac{x}{2}$$

б) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 2x+\cos 4x=2\cos \frac{2x+4x}{2}\cos \frac{2x-4x}{2}=2\cos 3x\cos(-x)=2\cos 3x\cos x.$$

Тогда

$$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x=2\cos x+(\cos 2x+\cos 4x)$$

$$=2\cos x+2\cos 3x\cos x=2\cos x(1+\cos 3x).$$

Так как $$1+\cos 3x=2\cos^2 \frac{3x}{2},$$ получаем

$$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x=4\cos x\cos^2 \frac{3x}{2}.$$

Ответ: $$4\cos x\cos^2 \frac{3x}{2}$$