Упр.22.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Представьте в виде произведения:

• а) $$\frac{1}{2}-\cos t$$;
• б) $$\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin t$$;
• в) $$1+2\cos t$$;
• г) $$\cos t+\sin t$$.

Используем формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

1. $$\frac12-\cos t=\cos\frac{\pi}{3}-\cos t=-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}$$

   $$=-2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{t}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{t}{2}\right)=2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$

2. $$\frac{\sqrt3}{2}+\sin t=\sin\frac{\pi}{3}+\sin t=2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}$$

   $$=2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{t}{2}\right)$$

3. $$1+2\cos t=2\left(\frac12+\cos t\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos t\right)$$

   $$=2\cdot 2\cos\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}=4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{t}{2}\right)$$

4. $$\cos t+\sin t=\cos t+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$$

   $$=2\cos\frac{t+\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{2}\cos\frac{t-\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{2}$$

   $$=2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$

Ответ:

а) $$2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$

б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{t}{2}\right)$$

в) $$4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{t}{2}\right)$$

г) $$\sqrt2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$