Упр.21.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\sin t=\frac{5}{13}$$, $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\sin t=\frac{5}{13}$$ и $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол $$t$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos t<0.$$

Найдём $$\cos t$$:

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t} =-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{25}{169}} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t} =\frac{5/13}{-12/13} =-\frac{5}{12}.$$

Используем формулы двойного аргумента:

$$\sin 2t=2\sin t\cos t =2\cdot \frac{5}{13}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right) =-\frac{120}{169}.$$

$$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t =\left(-\frac{12}{13}\right)^2-\left(\frac{5}{13}\right)^2 =\frac{144}{169}-\frac{25}{169} =\frac{119}{169}.$$

$$\tg 2t=\frac{2\tg t}{1-\tg^2 t} =\frac{2\cdot \left(-\frac{5}{12}\right)}{1-\left(-\frac{5}{12}\right)^2} =\frac{-\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}} =\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} =-\frac{120}{119}.$$

$$\ctg 2t=\frac{1}{\tg 2t} =\frac{1}{-\frac{120}{119}} =-\frac{119}{120}.$$

Ответ: а) $$-\frac{120}{169}$$; б) $$\frac{119}{169}$$; в) $$-\frac{120}{119}$$; г) $$-\frac{119}{120}$$.