Упр.21.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$$;

б) $$\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}=\cos\frac{x}{2}$$;

в) $$\sin 2x\cdot\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$$;

г) $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$$.

Воспользуемся формулами двойного аргумента.

1. $$\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=\frac12\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac12\sin\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=\frac12\sin x.$$

2. $$\cos^2 \frac{x}{4}-\sin^2 \frac{x}{4}=\cos\left(2\cdot \frac{x}{4}\right)=\cos \frac{x}{2}.$$

3. $$\sin 2x\cdot \cos 2x=\frac12\cdot 2\sin 2x\cos 2x=\frac12\sin(2\cdot 2x)=\frac12\sin 4x.$$

4. $$\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=\cos x.$$

Тождества доказаны.