Упр.21.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$; б) $$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$.
а) Преобразуем уравнение:
$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x=2-2\cos x$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x+2\cos x=2$$
Введём замену $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда
$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$
значит, $$2\sin x\cos x=y^2-1.$$
Получаем:
$$y^2-1+2y=2,$$
$$y^2+2y-3=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=1,\qquad y_2=-3.$$
Значение $$y=-3$$ невозможно, так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$
Остаётся:
$$\sin x+\cos x=1.$$
Тогда
$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно,
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
откуда
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
б) Преобразуем уравнение:
$$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7.$$
Положим $$y=\sin x-\cos x.$$ Тогда
$$y^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-\sin 2x,$$
то есть $$\sin 2x=1-y^2.$$
Подставим в уравнение:
$$4(1-y^2)+8y=7,$$
$$4y^2-8y+3=0.$$
Решаем:
$$D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}.$$
Получаем
$$y_1=\frac32,\qquad y_2=\frac12.$$
Так как $$\sin x-\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ оба значения допустимы.
1) Если $$\sin x-\cos x=\frac32,$$ то
$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac32,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt2}{4}.$$
Так как $$\frac{3\sqrt2}{4}>1,$$ решений нет.
2) Если $$\sin x-\cos x=\frac12,$$ то
$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$
Тогда
$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
